Question

f(x)是定义在R上的偶函数,其图像关于直线X=1对称

f(x)是定义在R上的偶函数,其图像关于直线X=1对称，对任意的X1,X2属于【0，0.5】都有f(x1+x2)=f(x1)*f(x2),且f(1)=a>0
(1)求f（0.5）及f（0.25）
（2）证：f（x）是周期函数

Answer 1

1楼做的完全正确，但条理不太清晰，不易看懂
f(x)是定义在R上的偶函数,其图像关于直线X=1对称，对任意的X1,X2属于【0，0.5】都有f(x1+x2)=f(x1)*f(x2),且f(1)=a>0
(1)求f（0.5）及f（0.25）
(2)证：f（x）是周期函数
(1)解析：∵f(x)满足对任意的X1,X2∈[0，0.5]，都有f(x1+x2)=f(x1)*f(x2)，且f(1)=a>0
∴f(x)在区间[0，0.5]为指数函数f(x)=a^x，满足a^(x1+x2)=a^x1*a^x2
∴f(0.5)=a^(1/2)， f(0.25)=a^1/4 (a>0)
(2)∵f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)=f(-x)，即f(0-x)=f(0+x)，关于Y轴对称
又∵其图像关于直线X=1对称，∴满足f(1-x)=f(1+x)，
∴同时满足关于Y轴对称，即f(x-1)=f(-(x-1))= f(1-x)
∴f(x-1)=f(x+1)
∴f((x+1)-1)=f((x+1)+1)==>f(x)=f(x+2)
∴f(x)是以2为周期的周期函数 。

Answer 2

首先说明一点，常数函数f(x)=1满足题目条件。f(x)不是常数函数时：
(1)令x1=x2=0.5, f(1)=f(0.5)*f(0.5)
再令x1=x2=0.25 f(0.5)=f(0,25)*f(0.25)=[f(0.25)]^2
可见f(0.5)是非负数，所以f(0.5)=√a ，同理 f(0.25)=a^1/4
(2)因为 f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)=f(-x)，于是f(1-x)=f(x-1)
又因为其图像关于直线X=1对称，所以f(1-x)=f(1+x)，所以f(x-1)=f(x+1)
即有f(x)=f(x+2)，所以f(x)是以2为周期的周期函数