Question

已知RT三角形ABC，∠ABC=90°，以直角边AB为直径作O,交斜边AC于点D，连接BD 没有图

如图，已知RT三角形ABC，∠ABC=90°，以直角边AB为直径作O,交斜边AC于点D，连接BD
1.若AD=3，BD=4,求边BC的长
2.取BC的中点E，连接ED，证明ED与⊙O相切。

Answer 1

1）AB是直径=》角ADB=90度 AB^2=AD^2+BD^2=3*2+4^2=25 =>AB=5
三角形ABD相似于三角形BCD=>AB/BC=AD/BD 5/BC=3/4 BC=20/3
(2)连OD
OD是Rt三角形ABD的中线=》OB=OD=》角OBD=角ODB;DE是Rt三角形BDC的中线=》
角EBD=角EDB
又因为角OBD+角DBE=90度=》角ODB+角BDE=90度 OD是半径=》ED与⊙O相切

Answer 2

（1）解：∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，即BD⊥AC．
∵AD=3，BD=4，
∴AB=5．
∵∠ABC=90°，BD⊥AC，
∴△ABD∽△ACB，
∴BD/AD=BC/AB，
即4/3=BC/5，
∴BC=20/3；

（2）证明：连接OD，∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD；
又E是BC的中点，BD⊥AC，
∴DE=BE，
∴∠EDB=∠EBD．
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD=90°，
即∠ODE=90°，
∴DE⊥OD．
∴ED与⊙O相切．

Answer 3

（1）解：∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，即BD⊥AC．
∵AD=3，BD=4，
∴AB=5．
∵∠ABC=90°，BD⊥AC，
∴△ABD∽△ACB，
∴BDAD=BCAB，
即43=BC5，
∴BC=203；

（2）证明：连接OD，∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD；
又E是BC的中点，BD⊥AC，
∴DE=BE，
∴∠EDB=∠EBD．
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD=90°，
即∠ODE=90°，
∴DE⊥OD．
∴ED与⊙O相切．