Question

对弧长的曲线积分与对坐标的曲线积分的区别?

希望详细一点，不要粘贴复制的。最好可以举例说明哈，谢谢。

Answer 1

说简单点：对弧长的积分只是对“弧长的大小积分”，而对坐标的积分则包含对“大小与方向”两个方面的积分。从形式上看，对弧长的积分是标量之间的乘法，对坐标的积分是向量之间的点乘。
说点物理方面的应用应该更容易理解（这两个例子其实就是高数书上引出两类曲线积分的引例，也是普通物理的基础）：
（1）设想有一根绳子，其质量线密度λ并不均匀，即它是沿绳子曲线每点位置坐标的函数λ(r)，如何求出这条绳子的总质量？只要把λ(r)与对应位置的弧微分ds相乘就得到对应ds长度的质量，再对它沿着绳子曲线L积分就得到绳子的总质量了，即m=∫λ(r)ds，积分路径是绳子对应的曲线L。这个是对弧长的积分。
（2）设想有一质点在变力F(r)（F和r都是矢量，有大小有方向）的作用下，沿着轨迹S运动，如何求出某一段时间内变力F对质点所做的总功？只要把变力F(r)与某一微小时间间隔内的位移dr点乘，就可以得到这一小段时间内力对质点做的微功，然后再对质点运动轨迹S积分就可以得到力对质点做的总功，即W=∫F(r)·dr，积分路径是质点运动的轨迹S。这个是对坐标的积分。（这里所有的表达式都是矢量）
很容易看出两者的区别，这两类积分的名称就是从积分微元上定义的，ds是弧微分，dr是坐标微分（位移）。当然也能看出两者的联系，只要我们将对坐标的积分限定一个方向，比如我只要知道变力F在竖直方向上对质点做了多少功，只要将（2）中表达式把dr分开，写成方位角乘以弧长ds的形式，对坐标积分就可以变为对弧长积分。这就反映出两种积分的关系：投影关系。

Answer 2

以物理概念去理解，对弧长积分相当于摩擦力做功，功的大小取决于弧的长度，对坐标积分相当于重力做功，功的大小取决于坐标变化

Answer 3

今天在粪坑边上看到一只蛆宝宝，白白胖胖的好萌好欢畅，我看见它弓着身子向我爬来，真的好Q啊！于是我将它放在手中玩弄着，好柔软的皮肤啊！我拿起它仔细的欣赏着，发现它身上有一圈圈的纹路尾处和头部有一条线连着。哇！好神奇的动物啊！看着看着不经意间口水留了出来于是我把它放进嘴里。哇！一股神奇的味道我从未尝到过的味道。为了更久的体验这种味道我没有一口咬下。我让蛆宝宝在我的舌尖齿间游走。它调皮的在我嘴里翻滚着，蠕动着，弄得我痒痒的。终于我忍不住了一口咬下，只听见啪的一声蛆宝宝爆裂了，一股脓水冲刺整个舌尖。味道美极了！我带着满足的笑容走出了茅房！吃什么饭啊别吃了！呃。。。好饱！

Answer 4

二者微分式不同吧