Question

求解一道关于积分、零点的数学题

如图：

Answer 1

引用27647平的回答：
　　定理1（由定积分定义式直接推出）：如果f(x)在[a,b]上连续且定积分为0，那么f(x)在(a,b)内必有零点，并且如果有非零点，那么正负必然同时存在（几个实数相加，正负抵消，和才能为0）。
　　定理2（乘法分配律）：在同一个积分区间，(f，ag+bh)=(f,ag)+(f,bh)=a(f,g)+b(f,h)。（(f,g)表示两个函数f(x)、g(x)的乘积在该区间的积分，称为f(x)与g(x)的内积。a*f(x)+b*g(x)称为两个函数f(x)、g(x)的线性组合）
　　定理3（属于波的合成）：几个周期相同的正弦型函数合成，还是一个同周期的正弦型函数。（就是三角函数的和差化积）

　　连续函数f(x)sinx在[0,pi]与sinx定积分为0，那么f(x)sinx在(0,pi)至少有一个零点。而sinx在(0,pi)恒正，那么这个零必然是由f(x)提供。所以f(x)在(0,pi)不管有没有正负，都至少有一个零点。
　　设该零点为x0。
　　f(x)在[0,pi]同时与sin(x)和cos(x)定积分为0，那么与acos(x)+bsin(x)定积分也为0，与其中的sin(x+t)定积分也为0（sin(x+t)属于acos(x)+bsin(x)）。随着t的变化，sin(x+t)的某个零点会与f(x)的那个零点重合，例如t=-x0。此时f(x)sin(x-x0)在[0,x0]∪[x0,pi]上定积分为0，那么f(x)sin(x-x0)在(0,x0)∪(x0,pi)内必有零点。而sin(x-x0)在(0,x0)∪(x0,pi)恒正，那么f(x)在(0,x0)∪(x0,pi)内必有零点。
　　所以f(x)在(0,pi)内至少有两个零点。

后面的分析？？怎么就在两个开区间一定有零点了？？0到x0和x0到pi一正一负抵消了不行吗？sin都平移了还正正正？？原谅我数学不好

Answer 2

　　定理1（由定积分定义式直接推出）：如果f(x)在[a,b]上连续且定积分为0，那么f(x)在(a,b)内必有零点，并且如果有非零点，那么正负必然同时存在（几个实数相加，正负抵消，和才能为0）。
　　定理2（乘法分配律）：在同一个积分区间，(f，ag+bh)=(f,ag)+(f,bh)=a(f,g)+b(f,h)。（(f,g)表示两个函数f(x)、g(x)的乘积在该区间的积分，称为f(x)与g(x)的内积。a*f(x)+b*g(x)称为两个函数f(x)、g(x)的线性组合）
　　定理3（属于波的合成）：几个周期相同的正弦型函数合成，还是一个同周期的正弦型函数。（就是三角函数的和差化积）

　　连续函数f(x)sinx在[0,pi]与sinx定积分为0，那么f(x)sinx在(0,pi)至少有一个零点。而sinx在(0,pi)恒正，那么这个零必然是由f(x)提供。所以f(x)在(0,pi)不管有没有正负，都至少有一个零点。
　　设该零点为x0。
　　f(x)在[0,pi]同时与sin(x)和cos(x)定积分为0，那么与acos(x)+bsin(x)定积分也为0，与其中的sin(x+t)定积分也为0（sin(x+t)属于acos(x)+bsin(x)）。随着t的变化，sin(x+t)的某个零点会与f(x)的那个零点重合，例如t=-x0。此时f(x)sin(x-x0)在[0,x0]∪[x0,pi]上定积分为0，那么f(x)sin(x-x0)在(0,x0)∪(x0,pi)内必有零点。而sin(x-x0)在(0,x0)∪(x0,pi)恒正，那么f(x)在(0,x0)∪(x0,pi)内必有零点。
　　所以f(x)在(0,pi)内至少有两个零点。