Question

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Answer 1

已知数列{a‹n›}，a₁=1/2，其前n项和为S‹n›，且当n≧2时S‹n›=S‹n-1›/(1+2S‹n-1›)；
(1)。证明{1/S‹n›}是等差数列；(2)。求数列{a‹n›}的通项公式；
(3)。b‹n›=2(1-n)a‹n›，求证b₂²+b₃²+b₄²+......+b‹n›²<1；
解：(1)。由于1/S₁=1/a₁=2，当n≧2时：1/S‹n›=(1+2S‹n-1›)/S‹n-1›=(1/S‹n-1›)+2；
∴1/S‹n›-1/S‹n-1›=2=常数，故{1/S‹n›}是首项为2，公差为2的等差数列。
(2)。由于{1/S‹n›}是首项为2，公差为2的等差数列，故1/S‹n›=2+2(n-1)=2n；于是得S‹n›=1/(2n)；
已知a₁=1/2，当n≧2时，a‹n›=S‹n›-S‹n-1›=1(2n)-1/[2(n-1)]=[(n-1)-n]/[2n(n-1)]=-1/[2n(n-1)].
a₁=1/2，a₂=-1/4，a₃=-1/12，a₄=-1/24，.........，a‹n›=-1/[2n(n-1)].
(3)。b‹n›=2(1-n)a‹n›=2(1-n){-1/[2n(n-1)]}=1/n
故b₂²+b₃²+b₄²+......+b‹n›²=(1/2)²+(1/3)²+(1/4)²+.....+(1/n)²<1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+....+1/[(n-1)n]
=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+.......+[1/(n-1)-1/n]=1-1/n<1.

Answer 2

证明：将原等式求导数，得到1/Sn=1+2Sn-1/Sn-1,然后化简得到1/Sn=1/Sn-1+2,即1/Sn-1/Sn-1=2(n>=2),那么{1/Sn}为等差数列。
由上一问容易知道1/Sn=1/S1+(n-1)*2,1/S1=1/a1=2,故Sn=1/2n,an=Sn-Sn-1=(1/2n)-(1/2n-2) (n>=2),记得要补上a1=S1=1/2
第三问：Bn=1/n(n>=2),也就是需要证明的命题化简为(1/2)平方+(1/3)平方+....+(1/n)平方<1
在这里需要用到一个很重要的缩放法，注意到平方和可以和以下式子比较1*1/2+1/2*1/3+1/3*1/4....(原等式值比这个构造等式小。)
这个新的式子可以拆成(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+。。。+(1/n-1 - 1/n)=1- 1/n<1因此原等式也小于1.

Answer 3

（1）将已知和的那个等式两边取倒数得1/Sn - 1/Sn-1=2，就能证得等差数列！首项是1/S1=1/a1=2,公差是2
（2）由（1)写出通项公式1/Sn=2+(n-1)*2=2n，在取倒数就得到Sn=1/2n，,n>1时an=Sn-Sn-1=。。。，看n=1时，满足不满足，不满足就写成分段函数的形式
（3）n>=2,an确定，bn也确定，不等式两边都加b1^2，左端是数列{bn^2}的和，继续下去就能证明！

Answer 4

关于第三问可以知道Bn=(1/n)的，暂时不知道怎么解，不好意思哈