Question

这是在高等数学上面关于cosx的带有拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式，有点不懂，求亲告知，十分感谢~~~

Answer 1

余项就是R(2m+1)，他是展开到第2m项的，因为展开式中包含x^(2m)的项，所以后面的项显然就是x的2m+1次方了，因此是R(2m+1)。余项的推导你是想问第一个等号还是第二个等号呢，第一个等号就是根据泰勒中值定理直接得出的，第二个等号跟上次的一样，还是三角函数的恒等变换，利用公式cos(a+kπ)=(-1)^k*cosa即可。

追问

亲，你这句话，我不太懂"因为展开式中包含x^(2m)的项，所以后面的项显然就是x的2m+1次方了，因此是R(2m+1)。"
你看f(x)=eˆx展开式的余项为eˆθx/(n+1)!*xˆn+1就为R(n)啊
到底余项是R(n)还是R(n+1)来表示，他的意思就是表示这个公式的n+1项是余项，对吧？

追答

不是，也许是不同的书用的记号不一样（这种可能性也不大），如果展开到x^n项，那么余项应该记作R(n+1)，你说的e^x也应该写成e^x=1+x+x^2/2+...+x^n/n!+R(n+1)的，其中R(n+1)=eˆθx/(n+1)!*xˆn+1

追问

不会吧，这本书肯定权威了。

你看嘛，这里eˆx的余项就是R(n),

像一般n阶麦克劳林公式到底是n+1还是 n怎么看呢

追答

那就是不同的书记号不同，我的书就是用R(n+1)的，这个无所谓，只是个记号而已，你们老师怎么写你就怎么写吧，考试不会扣分的，n阶麦克劳林公式到底是n+1还是 n这个很容易，不要管余项了，就看展开式，x的最高次项是多少就是多少阶的迈克劳林公式。

追问

就是这我还有点不太懂R(2m+1)(x)=cos(θx+(m+1)π)/(2m+2)!*xˆ(2m+2)为什么是θx+(m+1)π啊
就是第一个等号那哈

追答

cosx的n阶导数公式等于cos(x+nπ/2)，令n=2m+2（因为是第2m+2项），cosx的n阶导数
=cos[x+(m+1)π]，根据泰勒中值定理，余项中的n阶导数应该取0到x之间的某一中值，令这个中值等于θx即可（0<θ<1），因为此时0<θx<x满足定理对中值范围的要求。

Answer 2

这个是Taylor展开式。因为cosx在x=0点奇数次求导的话，变成sinx|x=0 = 0,所以它只有偶数项。因为你这个式子求到了2m次，所以余项表示成第2m+1个式子，R2m+1的2m+1只是一个下标表示，说明你是从第2m+1项开始表示的余项。因为接下去2m+1次求导在x=0处的值为0，所以用2m+2次的项表示。

R2m+1里面的（2m+2）！和x^2m+2，你应该知道，因为这是Taylor展开的公式，而cos(θx+(m+1)π),其实就是cosx求了2m+2次导后，由于会有正负号的差别，所以后面加上π的象加以区分。