Question

设函数f（x）=｜2x+1｜+｜x-2｜。求（1）函数y=f（x）的最小值；（2）若f（x）+3m-m^2≥0在区间[1，+∞）

设函数f（x）=｜2x+1｜+｜x-2｜。求（1）函数y=f（x）的最小值；（2）若f（x）+3m-m^2≥0在区间[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围
要有过程

Answer 1

(1)先写成分段形式
当x>=2时，f(x)=2x+1+x-2=3x-1,可知y>=5
当-1/2<=x<2时，f(x)=2x+1+2-x=x+3,可知y在5/2与5之间
当x<-1/2时，f(x)=-(2x+1)+2-x=-3x+1,可知y>5/2
所以函数y=f（x）的最小值为5/2
(2)m^2-3m<=f(x)在区间[1，+∞）上恒成立，所以m^2-3m<=f(x)的最小值
m^2-3m<=f(1)=4,所以 -1<=m<=4

Answer 2

绝对值之和恒大于等于0
所以f（x）的最小值为0
｜2x+1｜>=0
｜x-2｜>=0
｜2x+1｜+｜x-2｜>=0

X范围为[1，+∞）
x>=1
当x=1，f（x）=4
所以f（x）>=4
f（x）+3m-m^2≥0
m^2-3m<=f（x）
m^2-3m<=4
(m-4)(m+1)<=0
-1<m<4

Answer 3

（1） Ymin=2.5 （2）3m-m^2>=-2.5

M^2-3m<=2.5
m^2-3m-2.5<=0

m<3-根号19或m>3+根号19

Answer 4

min（fx）=2.5；
x属于【1，oo）时，min（fx）=4
m^2-3m<=4;m属于（-1,4）