Question

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,直线l过F2交于椭圆B,C两点

(1)如果直线l的方程为y=x-1,且△F1BC为直角三角形，求椭圆方程
(2)证明：以A为圆心，半径为b的圆上任意一点到F1,F2的距离之比为定值。

Answer 1

解：

1）由题意可知F2(c,0)其中c>0且c²=a²-b²

直线l过点F2：0=c-1

∴c=1

∴F1(-1,0)

设B（x1,y1),C(x2,y2)

∵ΔF1BC为RTΔ

∴∠F1BC=π/2

即F1B⊥BC

过B作直线BD垂直x轴交x轴于点D

|BD|=|y1|

∵直线l的斜率为1

∴∠BF2F1=45°

∴|BF2|=|BF1|=√2/2|F1F2|

|BD|=√2/2|BF2|

∴|BD|=1/2|F1F2|=1/2*2=1

即y1=-1

将y1代入直线可得x1=0

即B（0,-1)在随圆上：

0²/a²+(-1)²/b²=1

b=1 

c=1

∴a=√2

∴椭圆方程为：x²/2+y²=1

 

 

2)证明：

以A（a,0)为圆心半径为b的圆的方程为(x-a)²+y²=b²

即y²=b²-(x-a)²

设点P(x,y)在圆上

F1(-c,0),F2(c,0)

则PF1=√[(x+c)²+y²]

PF2=√[(x-c)²+y²]

令t=PF1/PF2>0

t²=[(x+c)²+y²]/[(x-c)²+y²]

将y²代入得：

t²=[(x+c)²+b²-(x-a)²]/[(x-c)²+b²-(x-a)²]

其中c²=a²-b²化简得：

t²=[2x(c+a)]/[2x(a-c)]

=(a+c)/(a-c)

∵a,c是常数

∴t²是定值

∴t是定值

即|PF1|/|PF2|为定值，得证

 

望学习了点采纳！