已知函数f（x）是区间[a，b]上的连续函数，求证
展开全部
以下∫都是从a积到b
有Cauchy-Schwarz不等式直接就有
(∫f(x)·1dx)²≤(∫1²dx)(∫f²(x)dx)=(b-a)∫f²(x)dx
若不熟悉这个不等式，可以
令g(b)=(b-a)∫f²(x)dx-(∫f(x)dx)²
=>g'(b)=∫f²(x)dx+(b-a)f²(b)-2f(b)∫f(x)dx
=∫f²(x)dx+∫f²(b)dx-2∫f(x)f(b)dx
=∫[f²(x)-2f(x)f(b)+f²(b)]dx
=∫[f(x)-f(b)]²dx
∴b≥a时有g'(b)≥0
g(b)≥g(a)=0
b<a时，有g'(b)≤0
∴同样有g(b)≥g(a)=0
即(∫f(x)dx)²≤(b-a)∫f²(x)dx
有Cauchy-Schwarz不等式直接就有
(∫f(x)·1dx)²≤(∫1²dx)(∫f²(x)dx)=(b-a)∫f²(x)dx
若不熟悉这个不等式，可以
令g(b)=(b-a)∫f²(x)dx-(∫f(x)dx)²
=>g'(b)=∫f²(x)dx+(b-a)f²(b)-2f(b)∫f(x)dx
=∫f²(x)dx+∫f²(b)dx-2∫f(x)f(b)dx
=∫[f²(x)-2f(x)f(b)+f²(b)]dx
=∫[f(x)-f(b)]²dx
∴b≥a时有g'(b)≥0
g(b)≥g(a)=0
b<a时，有g'(b)≤0
∴同样有g(b)≥g(a)=0
即(∫f(x)dx)²≤(b-a)∫f²(x)dx
本回答由提问者推荐
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
