Question

求arctan√tdt的定积分,上限是x,下限是0

Answer 1

你好！

这题显然不是让你求积分

原题是求极限吧

用洛必达法则

这个式子求导得 arctan√x

如果非要求定积分，如图

Answer 2

求定积分【0，x】∫arctan(√t)dt
解：原式=【0，x】[tarctan(√t)-(1/2)∫(√t)dt/(1+t)]=xarctan√x-【0，x】(1/2)∫(√t)dt/(1+t)].
设√t=u，则t=u²，dt=2udu，t=0时u=0；t=x时u=√x；于是上式中的第二个积分可求解如下：
【0，x】(1/2)∫(√t)dt/(1+t)]=【0，√x】∫u²du/(1+u²)=【0，√x】∫[1-1/(1+u²)]du
=[u-arctanu]【0，√x】=√x-arctan√x；
故原式=xarctan√x-(√x-arctan√x)=[(x+1)arctan√x]-√x.

追问

我明白你采用的是分部积分法，但是为什么原式不是=tarctan(√t)-∫t.1/1+tdt ?我算出的结果是arctan√x(x+1)-x,麻烦你再帮我看看

追答

你把arctant的微分求错了！
∫arctan(√t)dt=tarctan(√t)-∫td[arctan(√t)]
=tarctan(√t)-∫t[d(√t)/(1+√t²)]
=tarctan(√t)-∫t[dt/(2√t)/(1+t)]【注意积分符号后面有t/√t=√t】
=tarctan(√t)-(1/2)∫(√t)dt/(1+t)

追问

d(arctan√t)难道不是=1/(1+t)吗？？？，不懂为什么会等于d(√t)/(1+√t²)

追答

反正切的微分公式：d(arctanu)=u'du/(1+u²)；
在本例中 u=√t.