设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(0<a<b),证明,f(b)-f(a)=ξf'(ξ)lnb/a

紫涛云帆
2014-01-09 · TA获得超过897个赞
知道小有建树答主
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利用柯西中值定理证明。
设g(x)=lnx,则根据条件可知:
f(x),g(x)在(a,b)上满足柯西中值定理条件,
∴在(a,b)上存在ξ,使得:
[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ)
即:[f(b)-f(a)]/ln(b/a)=f'(ξ)/(1/ξ)
移项整理即得:f(b)-f(a)=ξf'(ξ)ln(b/a)
一笑而过jLNJ1
高粉答主

2014-01-09 · 每个回答都超有意思的
知道大有可为答主
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令g(x)=lnx,则g'(x)=1/x,对f(x)和g(x)使用柯西中值定理,有[f(b)-f(a)]/(lnb-lna)=f'(ξ)/(1/ξ),整理后就是f(b)-f(a)=ξf'(ξ)lnb/a
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