一个大家都不会的数学题。
若有可能,请指出所有可能使PCQ成为等腰三角形的点Q的位置,并求出相应的x值;若不可能,请说明理由。 展开
如果P点必须在AC之间且不可与A点重合,不能形成等腰三角形。如果P点可以与A点重合或在A点之外,则可形成等腰三角形。
题设条件如图1。放在边长为1的正方形ABCD上的一块三角尺,其直角顶点P在对角线AC上滑动,一条直角边始终经过点B,另一条直角边与射线CD相交于点Q。
由于∠PCQ=45°,若△PCQ为等腰三角形有两种情况,1是以∠PCQ为底角的等腰直角三角形,2是以∠PCQ为顶角的锐角等腰三角形。
先说第一种情况
P为AC上一点,假设QP、PB为直角板的两个边,如果△PCQ 为等腰直角三角形,由于∠PCQ=45°,若∠PQC=45°,则∠CPQ=90°,显然不成立。
如果∠PQC=90°,则∠CPQ=45°
→ ∠CPB=45°(因为QP、PB为直角板的两个直角边,∠QPB=90°)
由于∠CPB=∠CAB+∠ABP(三角形外角) ∠CAB=45°∠ABP>0°
显然∠CPB>45
因此△PCQ不可能为等腰直角三角形。
除非P与A重合,QP与DA重合,PB与AB重合,△PCQ即为由正方形的两个边和一个对角线围成的等腰直角三角形△ACD。此时X=0。
第二种情况:以∠PCQ为顶角的锐角等腰三角形。
∠PCQ=45 °则∠CPQ=∠CQP=67.5°→ ∠BPC=22.5°(因为∠QPB=90°)
显然,如果P点在AC内,则与PQ垂直的另一直角边不能过B点,不符合题意。
延长CA至P1点,延长CD至Q1点,连接P1Q1、P1B(这两条直线分别为直角板的两个直角边,∠Q1P1B=90°)
如果△CP1Q1是以∠PCQ为顶角的锐角等腰三角形,
则∠CP1Q1=∠CQ1P1=67.5°
则∠CP1B=22.5°
又∵∠P1AB=135°
∴∠AB P1=22.5°
∴△AP1B为等腰三角形
AP1=AB=1 即X=1
太麻烦了,也不知道明白没。