Question

已知二次函数F(X)=aX²+bX+c,若F(X)＜0的解集是{X|1＜X＜3}，函数在【-1，3

已知二次函数F(X)=aX²+bX+c,若F(X)＜0的解集是{X|1＜X＜3}，函数在【-1，3】的最大值是16 求(1)函数F(X)的解析式 (2)F(X)≥MX²-4MX恒成立，求实数M的取值范围

Answer 1

(1) f(x)=ax^2+bx+c
ax^2+bx+c=0
x1=(-b-√(b^2-4ac))/2a
x2=(-b+√(b^2-4ac))/2a
由f(x)<0的解集是1<x<3可知：a>0且对称轴为x=2
(-b-√(b^2-4ac))/2a=1
-b-√(b^2-4ac)=2a
√(b^2-4ac)=2a+b
b^2-4ac=4a^2+4ab+b^2

4a^2+4ab+4ac=0
a^2+ab+ac=0............(1)
(-b+√(b^2-4ac))/2a=3
-b+√(b^2-4ac)=6a
√(b^2-4ac)=6a+b
b^2-4ac=36a^2+12ab+b^2
8a^2+3ab+ac=0........(2)
(2)-(1)：32a^2+8ab=0
4a^2+ab=0...............(3)
f(x)在[-1,3]的最大值为16，∵x=-1远离对称轴x=2，∴f(x)max=f(-1)=16
a(-1)^2+b(-1)+c=16
a-b+c=16
c=16+b-a................(4)
(4)代入(1)：a^2+ab+a(16+b-a)=0
2ab+16a=0
8a+ab=0.................(5)
(3)-(5)： 4a^2-8a=0
4a(a-2)=0
a=0(舍去)
a=2
代入(3)：4*2^2+2b=0
b=-8
代入(4)： c=16-8-2=6
解析式：f(x)=2x^2-8x+6
(2) f(x)>=Mx^2-4Mx
2x^2-8x+6>=Mx^2-4Mx
(2-M)x^2-4(2-M)x+6>=0
(2-M)(x-2)^2+6-8+4M>=0
(2-M)(x-2)^2+4M-2>=0
2-M>0 M<2
Δ<=0
-4(2-M)(4M-2)<=0
2(M-2)(2M-1)<=0
1/2<=M<=2
M的取值范围：1/2=<M<2

Answer 2

把x=1和x=3代入函数，解方程即可

追问

我要的是完整的步骤，一步不落

追答

你高中？

追问

对的干嘛

追答

我才初三，只会做第一题