Question

已知:二次函数y=ax∧2+bx+6(a≠0)与x轴交于A,B两点（点A在点B的右侧），点A、点B的横坐标是一元一次方程

x∧2-4x-12=0的两个根（1）请求出该二次函数的表达式及对称轴和顶点坐标。
（2）在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC得周长最小？若存在，请求出点P得坐标；若不存在，请说明理由
（3）如图，连结AC\BC，点Q是线段OB上一个动点（点Q不与O、B重合），过点Q作QD∥AC交BC于点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值

Answer 1

（1） x^2-4x-12=0 ===> (x+2)*(x-6)=0 ===> x1=-2，x2=6 已知点A在B的左侧 所以，A(-2,0)，B(6,0). （2） 已知点A、B在二次函数上，代入y=ax^2+bx+6得到： 4a-2b+6=0 ===> 2a-b=-3 36a+6b+6=0 ===> 6a+b=-1 联立解得：a=-1/2，b=2 所以，y=(-1/2)x^2+2x+6 =(-1/2)*(x^2-4x+4)+8 =(-1/2)*(x-2)^2+8 所以，对称轴为x=2，顶点坐标为(2,8). （3）猜想点C为二次函数与y轴的交点！！！ 由前面知，二次函数为y=(-1/2)x^2+2x+6 则，当x=0时，y=6 所以，点C(0,6) △APC的周长=PA+PC+AC，其中AC长度固定 所以，当PA+PC最小时，△APC周长就最小 因为点A、B关于对称轴x=2对称，则：PA=PB 所以，PA+PC=PB+PC 所以，当点B、P、C在同一直线上时，PB+PC=BC为最小 已知点B(6,0)，C(0,6)，所以过BC的直线为：y=-x+6 那么，直线BC与对称轴x=2的交点为y=-2+6=4 即，对称轴上存在点P(2,4)，使得△APC的周长最小. （4） 点Q在线段OB上，且不与O、B重合，所以：0＜m＜6 那么，QB=6-m 则，S△CQB=(1/2)*QB*Cy【Cy的C点纵坐标】…………………………（1） 已知Kac=(6-0)/[0-(-2)]=3 因为DQ//AC，所以直线DQ的斜率也是k=3 已知点Q(m,0)，所以直线DQ为：y=3(x-m)=3x-3m 由(2)知，直线BC为y=-x+6 联立解得：x=(3m+6)/4，y=(-3m+18)/4 则点D((3m+6)/4,(-3m+18)/4) 则，S△DQB=(1/2)*QB*Dy=(1/2)*(6-m)*Dy……………………………（2） 由(1)(2)得到：S△CDQ=S△CBQ-S△DBQ =(1/2)*QB*(Cy-Dy) =(1/2)*(6-m)*[6-(-3m+18)/4] =(1/2)*(6-m)*(3m+6)/4 =(1/8)*(-3m^2+12m+36) =(-3/8)*(m^2-4m-12) =(-3/8)*[(m^2-4m+4)-16] =(-3/8)*[(m-2)^2-16] =(-3/8)*(m-2)^2+6 则，当m=2时，S△CDQ有最大值=6.