Question

已知函数f（x）=x|x-a|+2x-3． （1）当a=4，2≤x≤5，求函数f（x）的最大值

已知函数f（x）=x|x-a|+2x-3．
（1）当a=4，2≤x≤5，求函数f（x）的最大值
（2）若函数f(x)在R上是增函数，求a的取值范围

Answer 1

1)a=4, f(x)=x|x-4|+2x-4
当4<x<=5时,f(x)=x(x-4)+2x-4=x^2-2x-4=(x-1)^2-5, 最大为f(5)=11
当2=<x<=4时,f(x)=x(4-x)+2x-4=-x^2+6x-4=-(x-3)^2+5, 最大为f(3)=5
综合得f(x)的最大值为f(5)=11.
2)x>=a时, f(x)=x(x-a)+2x-3=x^2+(2-a)x-3, 对称轴为x=(a-2)/2, 此区间为增函数,则(a-2)/2<=a,得:a>=-2
x<a时,f(x)=x(a-x)+2x-3=-x^2+(2+a)x-3,对称轴为x=(a+2)/2, 开口向下,此区间为增函数,则(a+2)/2>=a, 得:a<=2
综合得a的取值范围是[-2,2]