Question

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x属于（0，1）时f(x)=2^x\(4^x+1) 求f(x）在（0，1）上的单调性

求证f(x)在（0，1）上是减函数
当2\5<a<1\2时 求关于x 的不等式f(x)>=a在（0，1）上的解集

Answer 1

显然2^x和4^x+1大于0恒成立,而4^x+1≥2根号4^x=2^(x+1),所以f(x)≤1/2,
当且仅当4^x=1,即x=0处取到等号,所以x∈(0,1)时是递减的.
原不等式化为f(x)-a≥0,即(2^x-a*4^x-a)(4^x+1)≥0,显然分母≥0恒成立,
所以只需分子≥0,令t=2^x>0,所以at^2-t+a≤0,
所以a(t-1/(2a))^2+a-1/(4a)≤0,所以当1/(4a)-a≥0(恒成立),
即-根号(1/(4a)-a)≤t-1/(2a)≤(1/(4a)-a)
所以1/(2a)-根号(1/(4a)-a)≤t≤1/(2a)+根号(1/(4a)-a)
所以log2[1/(2a)-根号(1/(4a)-a)]≤x≤log2[1/(2a)+根号(1/(4a)-a)]