Question

已知函数｛an｝是首项为a1=1/4，公比q=1/4的等比数列，设数列｛bn｝满足bn+2=3lo

已知函数｛an｝是首项为a1=1/4，公比q=1/4的等比数列，设数列｛bn｝满足bn+2=3log1/4(an)(1)求数列｛an+bn｝的前n项和sn(2)若数列{cn}满足cn=an×bn,若cn≦1/4m∧2+m-1.对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围，，求数学大神帮帮忙啊！！！

Answer 1

解：（1）由题意，可得 an=(1/4)^n;
那么： bn+2=3*log(1/4)an=3n;
所以： bn=3n-2,为等差数列；
（2）由条件Cn= an*bn得到：
Cn= (1/4)^n*(3n-2)=3n*(1/4)^n-2*(1/4)^n
记Cn的前n项和为Sn；
那么： Sn=3[1/4+2*(1/4)^2+……+n*(1/4)^n]-2*(1/4+(1/4)^2+……+(1/4)^n);
记Pn=1/4+2*(1/4)^2+……+n*(1/4)^n; --------(1)
则有： 1/4*Pn=(1/4)^2+2*(1/4)^3+……+n*(1/4)^(n+1); ------(2)
(1)-(2)得到：
3/4 Pn=1/4+(1/4)^2+(1/4)^3+……+(1/4)^n-n*(1/4)^(n+1) = 1/3*(1-(1/4)^n)- n*(1/4)^(n+1)
所以Sn可变形为:
Sn=3[1/3*(1-(1/4)^n)- n*(1/4)^(n+1)]-2*[1/3*(1-(1/4)^n)]
=1/3*[1-(1/4)^n]-3n*(1/4)^(n+1);

Answer 2

(1)
an=(1/4)^n
bn+2=3log<1/4>(an)
=3n
bn =3n-2

dn = an+bn
= 3n-2 + (1/4)^n
Sn = d1+d2+...+dn
= (3n-1)n/2 + (1/3)(1- (1/4)^n)
(2)
cn = an.bn
=(3n-2).(1/4)^n
let
f(x) =(3x-2).(1/4)^x
f'(x) = (1/4)^x . [ 3 - (3x-2)ln(1/4) ] =0
x = 1.388 ( max )
c1= 1/4
c2= 1/4
max cn = c1 or c2 = 1/4

cn≤(1/4)m^2+m-1
(1/4)m^2+m-1 ≥ 1/4
m^2+4m-5≥ 0
(m-1)(m+5)≥ 0
m≥ 1 or m≤-5