Question

x趋于1，x的平方减1为什么是无穷小量？

右极限趋于0没错。左极限可是-1啊，又不单调，怎么解释这个无穷小量

Answer 1

可以这么理解，x趋于1，x的平方无限接近1的平方，1的平方-1等于0.

追问

可是函数图像最低点是-1。然后再上升到0。不是单调减的。这怎么能说趋于0呢

Answer 2

√(1+x²)-1
=[√(1+x²)-1][√(1+x²)+1]/[√(1+x²)+1]
=x²/[√(1+x²)+1]

x→0
则2/[√(1+x²)+1]→1
x²/[√(1+x²)+1]/(x²/2)→1
所以等价无穷小是 x²/2

Answer 3

追问

我想说x取-无穷到1之间。函数图像是抛物线。极限是负一。这怎么解释无穷小量是0

追答

哦，听懂你的意思了。你是说 y=x^2-1 抛物线 ， 当x=0时，有极(小)值=-1。
然后 x从 -∞ 到1过程中，在x=0时，有个极值 -1，比x趋向于1时的值小，你就认定x趋向于1时极限是-1了。对吗？ 你的理解是错的。
因为我们只关心1附近的情况，不管是x从1的左边或右边趋向于1, x^2-1的极限都是0.
x无限趋向于1，x^2无限趋向于1，x^2-1 的极限值为零。
再仔细想想，你就明白了。极值和极限是两个概念。

追问

极限的定义是x趋于x0时，函数f（x）无限趋于一个确定的常数A。则称当x→x0时，函数f（x）的极限为A。回到刚才的题。在-无穷到1之间图像已经穿过0了，这怎么说无限趋于0呢？它已经趋过头了吧。

追答

直观一点吧：
x 0.9 0.99 0.999 0.9999 1 1.0001 1.001 1.01 1.1
y=x^2-1 -0.19 -0.0199 -0.001999 -0.00019999 0 0.00020001 0.002001 0.0201 0.21