Question

高数间断点问题

设f(x)在R上连续,且f(x)不等于0,g(x)在R上有定义,且有间断点,则下列陈述中哪些是对的?
(1)g[f(x)]必有间断点
(2)[g(x)]^2必有间断点
(3)f[g(x)]未必有间断点
(4)g(x)\f(x)必有间断点

请无论对错都从定义上说明一下理由..不要只举一个例子反例就算了..万分感谢..

Answer 1

(1)错，g(x)有间断点，也就是其定义域被间断点分成了几部分，如果f（x）的
值域在这几部分中的某一部分中，他就没有间断点，如果f（x）的值域不只属于某一部分，比如属于两部分，则必定有间断点属于f（x)值域，此时就有间断点
（2）错，g(x)在R上有定义，其间断点必定是第一类的，比如x0是其间断点，
就拿跳跃间断点来说吧，跳跃则其两个极限不相等，比如+x0的极限，和-x0的极限，平方之后就有可能相等，比如两个极限互为相反数，平方后就相等，因此可能没有间断点
（3）对，f（x）的定义域为R,g(x)的值域必定属于R，因此一般情况，g（x）间断的那个点，f（g（x))也断开了，没断开举个反例，f（x）=1，g（x）=x
（x>=0),g(x)=x+1(x<0).断开的也举个例子f（x）=x^2+1，g（x）=x（x不为0）
g（x）=10（x=0）
(4)对，g(x)/f(x)定义域和g（x）一样，由于f（x）不为0，其间断性与g（x）一样

Answer 2

解：x=0是可去间断点。
x=kπ（k为整数且k≠0）是f(x)的第二类间断点（无穷间断点），因为此时分子不为0，分母为0。