将sinx进行泰勒展开得到，sinx=x-x^3/3!zhi+x^5/5!-x^7/7!+……
当X趋近于0的时候，从展开式的第二项开始均为x的高阶无穷小量，可以忽略，所以sinx≈x，所以极限limX/sinx=1。
常用等价无穷小：
1、e^x-1～x (x→0)
2、 e^(x^2)-1～x^2 (x→0)
3、1-cosx～1/2x^2 (x→0)
4、1-cos(x^2)～1/2x^4 (x→0)
5、sinx~x (x→0)
6、tanx~x (x→0)
扩展资料：
极限的求法有很多种：
1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值
2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）
3、利用无穷大与无穷小的关系求极限
4、利用无穷小的性质求极限
5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算
6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限
7、利用两个重要极限公式求极限
8、利用左、右极限求极限，（常是针对求在一个间断点处的极限值）
9、洛必达法则求极限
将sinx进行泰勒展开得到，sinx=x-x^3/3!zhi+x^5/5!-x^7/7!+……
当X趋近于0的时候，从展开式的第二项开始均为x的高阶无穷小量，可以忽略，所以sinx≈x，所以极限limX/sinx=1。
常用等价无穷小：
1、e^x-1～x (x→0)
2、e^(x^2)-1～x^2 (x→0)
3、1-cosx～1/2x^2 (x→0)
4、1-cos(x^2)～1/2x^4 (x→0)
5、sinx~x (x→0)
6、tanx~x (x→0)
洛必达法则应用条件
在运用洛必达法则之前，首先要完成两项任务：
二是分子分母在限定的区域内是否分别可导。
如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，即结果仍然为未定式，再在验证的基础上继续使用洛必达法则。
当X趋近于0的时候，从展开式的第二项开始均为x的高阶无穷小量，可以忽略，所以 sinx≈x,所以极限lim X/sinx=1
其严格的证明可以看任何一本高等数学书。
大致思路是：
在一个单位园中，取直角三角形，三角形的一个顶点在圆心，一条边在x轴上，另一边为任一半径（为1），原点处的锐角为x，则sinx可以写出；在同一三角形中，延长x轴上的边到长度为1，可以求出tanx，利用夹逼定理取极限后可以得到结论。
因为sinx/x 当x->0时，极限为1
所以x/sinx的极限是sinx/x极限的倒数，也为1
