Question

如图，四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么

如图，四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么；（2）若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？

Answer 1

（1）如图，四边形EFGH是平行四边形． 连接AC，BD， ∵E、F分别是AB、BC的中点， ∴EF ∥ AC，EF= 1 2 AC 同理HG ∥ AC， HG= 1 2 AC ∴EF ∥ HG，EF=HG ∴EFGH是平行四边形； （2）四边形ABCD的对角线垂直且相等． ∵四边形EFGH为正方形， ∴EH⊥EF，EH=EF， ∵E、H、F分别是AB、DA、BC的中点， ∴EH= 1 2 BD，EF= 1 2 AC， ∴BD=AC， ∵EH为三角形ABD的中位线， ∴EH ∥ BD， ∴∠HEF=∠ENM=90°， ∵EF为三角形ABC的中位线， ∴EF ∥ AC， ∴∠AMN=90°， ∴AC⊥BD， ∴ABCD的对角线应该互相垂直且相等．