Question

已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A、C两点的坐标分别为A（4，2），C（n，-2）（其中n＞0），点B

已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A、C两点的坐标分别为A（4，2），C（n，-2）（其中n＞0），点B在x轴的正半轴上．动点P从点O出发，在四边形OABC的边上依次沿O-A-B-C的顺序向点C移动，当点P与点C重合时停止运动．设点P移动的路径的长为l，△POC的面积为S，S与l的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF是等腰梯形．（1）结合以上信息及图2填空：图2中的m=______；（2）求B、C两点的坐标及图2中OF的长；（3）若OM是∠AOB的角平分线，且点G与点H分别是线段AO与射线OM上的两个动点，直接写出HG+AH的最小值，请在图3中画出示意图并简述理由．

Answer 1

（1）如图1，∵四边形ODEF是等腰梯形， ∴OA=BC且OA ∥ BC， ∴四边形OABC是平行四边形， 由已知可得：S △AOC =8，连接AC交x轴于R点， 又∵A（4，2），C（n，-2）， ∴S △AOC =S △AOR +S △ROC =0.5×RO×2+0.5×RO×2=2RO=8， ∴OR=4， ∴m=OA= OR 2 +A R 2 = 4 2 +2 2 =2 5 ； 故答案为：2 5 ； （2）∵OB=2RO=8，CR=AR=2，AR⊥OB， ∴B（8，0），C（4，-2）且平行四边形OABC是菱形， ∴OF=3AO=3×2 5 =6 5 ； （3）如图3，在OB上找一点N使ON=OG，连接NH， ∵OM平分∠AOB， ∴∠AOM=∠BOM， 在△GOH和△NOH中， ON=OG ∠GOH=∠NOH OH=OH ， ∴△GOH≌△NOH（SAS）， ∴GH=NH， ∴GH+AH=AH+HN=AN， 根据垂线段最短可知：当AN是点A到OB的垂线段时，且H点是AN与OM的交点， ∴GH+AH的最小值为2．