Question

如图，已知二次函数y=ax 2 +bx+3的图象与x轴相交于点A、C，与y轴相交于点B，A（ ，0），且△AOB∽△BOC

如图，已知二次函数y=ax 2 +bx+3的图象与x轴相交于点A、C，与y轴相交于点B，A（ ，0），且△AOB∽△BOC。 （1）求C点坐标、∠ABC的度数及二次函数y=ax 2 +bx+3的关系式；（2）在线段AC上是否存在点M（m，0），使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点（与点B不同），且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。

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Answer 1

解：（1）由题意，得B（0，3） ∵△AOB∽△BOC， ∴∠OAB=∠OBC， ∴ ∴OC=4， ∴C（4，0） ∵∠OAB+∠OBA=90°， ∴∠OBC+∠OBA=90° ∴∠ABC=90° ∵y= 图象经过点A（- ，0），C（4，0） ∴ ∴
（2）①如图1，当CP=CO时，点P在以BM为直径的圆上，因为BM为圆的直径 ∴∠BPM=90°， ∴PM∥AB ∴△CPM∽△CBA ∴ 得CM=5 ∴m=-1。
②如图2，当PC=PO时，点P在OC垂直平分线上，得PC=2.5 由△CPM∽△CBA，得CM= ∴m=4- 。
③当OC=OP时，M点不在线段AC上 综上所述，m的值为 或-1。