Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE． （1）证明DE∥

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE． （1）证明DE∥CB；（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．

Answer 1

（1）首先连接CE，根据直角三角形的性质可得CE= AB=AE，再根据等边三角形的性质可得AD=CD，然后证明△ADE≌△CDE，进而得到∠ADE=∠CDE=30°，再有∠DCB=150°可证明DE∥CB。 （2）当 或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形。

分析：（1）首先连接CE，根据直角三角形的性质可得CE= AB=AE，再根据等边三角形的性质可得AD=CD，然后证明△ADE≌△CDE，进而得到∠ADE=∠CDE=30°，再有∠DCB=150°可证明DE∥CB。 （2）当 或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形。若四边形DCBE是平行四边形，则DC∥BE，∠DCB+∠B=180°进而得到∠B=30°，再根据三角函数可推出 或AB=2AC。 解：（1）证明：连结CE， ∵点E为Rt△ACB的斜边AB的中点， ∴CE= AB=AE。 ∵△ACD是等边三角形，∴AD=CD。 在△ADE与△CDE中， ， ∴△ADE≌△CDE（SSS）。∴∠ADE=∠CDE=30°。 ∵∠DCB=150°，∴∠EDC+∠DCB=180°。 ∴DE∥CB。 （2）∵∠DCB=150°，若四边形DCBE是平行四边形，则DC∥BE，∠DCB+∠B=180°。 ∴∠B=30°． 在Rt△ACB中，sinB= ，即sin30°= ，∴ 或AB=2AC。 ∴当 或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形。