Question

如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F，且∠CAD=60°，DC=DE，求证

如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F，且∠CAD=60°，DC=DE，求证： （1）AB=AF（2）A为△BEF的外心（即△BEF外接圆的圆心）

Answer 1

证明：（1）∠ABF=∠ADC=120°-∠ACD=120°-∠DEC =120°-（60°+∠ADE）=60°-∠ADE    而∠F=60°-∠ACF   因为∠ACF=∠ADE   所以∠ABF=∠F，所以AB=AF （2）四边形ABCD内接于圆，所以∠ABD=∠ACD，   又DE=DC，所以∠DCE=∠DEC=∠AEB，   所以∠ABD=∠AEB，所以AB=AE；   所以AB=AF=AE，即A是三角形BEF的外心