Question

定义在（-1，1）的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）= f( x+y 1+xy )

定义在（-1，1）的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）= f( x+y 1+xy ) ；②当0＜x＜1时，f（x）＞0．回答下列问题．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性，并说明理由；（3）若 f( 1 7 )= 1 3 ，试求 f( 2 3 )-f( 1 9 )-2f( 1 17 ) 的值．

Answer 1

（1）函数定义域为（-1，1）．令x=y=0得f（0）=0， 令y=-x，则有f（x）+f（-x）=0，得f（-x）=-f（x）， 所以函数f（x）在区间（-1，1）上是奇函数．（3分） （2）设-1＜x 1 ＜x 2 ＜1， 则 f( x 2 )-f( x 1 )=f( x 2 )+f(- x 1 )=f( x 2 - x 1 1- x 1 x 2 ) 而x 2 -x 1 ＞0，|x 1 ||x 2 |＜1 ∴1-x 1 x 2 ＞0 ∴ x 2 - x 1 1- x 1 x 2 ＞0 ， 又因为1-x 2 ＞0，1+x 1 ＞0 ∴（1-x 2 ）（1+x 1 ）=1-x 1 x 2 -x 2 +x 1 ＞0，即 1- x 1 x 2 ＞ x 2 - x 1 ∴ x 2 - x 1 1- x 1 x 2 ＜1 ∴ 0＜ x 2 - x 1 1- x 1 x 2 ＜1 ， 所以 f( x 2 - x 1 1- x 1 x 2 )＞0 ．即当x 1 ＜x 2 时，f（x 1 ）＜f（x 2 ）， ∴f（x）在区间（-1，1）上是单调递增函数．（8分） （3）由于 f( 2 3 )-f( 1 7 )=f( 11 19 ) 即 f( 2 3 )=f( 1 7 )+f( 11 19 ) ∵ f( 1 9 )+f( 1 7 )=f( 1 4 ) 即 -f( 1 9 )=f( 1 7 )-f( 1 4 ) ∵ f( 1 17 )+f( 1 7 )=f( 1 5 ) 即 -2f( 1 17 )=2f( 1 7 )-2f( 1 5 ) 又∵ f( 1 4 )+f( 1 5 )+f( 1 5 )=f( 3 7 )+f( 1 5 )=f( 11 19 ) ∴ f( 2 3 )-f( 1 9 )-2f( 1 17 )=f( 1 7 )+f( 1 19 )+f( 1 7 )-f( 1 4 )+2f( 1 7 )-2f( 1 5 ) ∴ f( 2 3 )-f( 1 9 )-2f( 1 17 )=4f( 1 7 )= 4 3 （14分）