Question

如图，已知AB⊥MN，垂足为点B，P是射线BN上的一个动点，AC⊥AP，∠ACP =∠BAP，AB=4，BP=x，CP=y，点C到

如图，已知AB⊥MN，垂足为点B，P是射线BN上的一个动点，AC⊥AP，∠ACP =∠BAP，AB=4，BP=x，CP=y，点C到MN的距离为线段CD的长．（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）在点P的运动过程中，点C到MN的距离是否会发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示这段距离；如果不发生变化，请求出这段距离；（3）如果圆C与直线MN相切，且与以BP为半径的圆P也相切，求BP：PD的值．

Answer 1

（1）∵AB⊥MN，AC⊥AP， ∴∠ABP=∠CAP=90°． 又∵∠ACP=∠BAP， ∴△ABP ∽ △CAP．（1分） ∴ BP AP = AP PC ． 即 x x 2 +16 = x 2 +16 y ．（1分） ∴所求的函数解析式为 y= x 2 +16 x （x＞0）．（1分） （2）CD的长不会发生变化．（1分） 延长CA交直线MN于点E．（1分） ∵AC⊥AP， ∴∠PAE=∠PAC=90°． ∵∠ACP=∠BAP， ∴∠APC=∠APE． ∴∠AEP=∠ACP． ∴PE=PC． ∴AE=AC．（1分） ∵AB⊥MN，CD⊥MN， ∴AB ∥ CD． ∴ AB CD = AE CE = 1 2 ．（1分） ∵AB=4， ∴CD=8．（1分） （3）∵圆C与直线MN相切， ∴圆C的半径为8．（1分） （i）当圆C与圆P外切时，CP=PB+CD，即y=x+8， ∴ x 2 +16 x =x+8 ， ∴x=2，（1分） ∴BP=2， ∴CP=y=2+8=10， 根据勾股定理得PD=6 ∴BP：PD= 1 3 ．（1分） （ii）当圆C与圆P内切时，CP=|PB-CD|，即y=|x-8|， ∴ x 2 +16 x =|x-8| ． ∴ x 2 +16 x =x-8 或 x 2 +16 x =8-x ． ∴x=-2（不合题意，舍去）或无实数解．（1分） ∴综上所述BP：PD= 1 3 ．