Question

如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB ∥ EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，A

如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB ∥ EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）求证：AF⊥平面CBF；（2）设FC的中点为M，求证：OM ∥ 平面DAF；（3）设平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分别为V F-ABCD ，V F-CBE ，求V F-ABCD ：V F-CBE ．

Answer 1

（1）证明：由平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB， 平面ABCD∩平面ABEF=AB， 得CB⊥平面ABEF， 而AF?平面ABEF，所以AF⊥CB（2分） 又因为AB为圆O的直径， 所以AF⊥BF，（3分） 又BF∩CB=B，所以AF⊥平面CBF（4分） （2）证明：设DF的中点为N，连接AN，MN 则MN ∥ . 1 2 CD，又AO ∥ . 1 2 CD 则MN ∥ . AO，所以四边形MNAO为平行四边形，（6分） 所以OM ∥ AN，又AN?平面DAF，OM?平面DAF， 所以OM ∥ 平面DAF．（8分） （3）过点F作FG⊥AB于G，因为平面ABCD⊥平面ABEF， 所以FG⊥平面ABCD，所以 V F-ABCD = 1 3 S ABCD ?FG= 2 3 FG （9分） 因为CB⊥平面ABEF， 所以 V F-CBE = V C-BFE = 1 3 S △BFE ?CB= 1 3 ? 1 2 EF?FG?CB= 1 6 FG （11分） 所以V F-ABCD ：V F-CBE =4：1．（12分）