Question

对于函数f（x）=sinxx，x∈(?π2，0)∪(0，π2)，对于区间(?π2，0)∪(0，π2)上的任意实数x1，x2，有如

对于函数f（x）=sinxx，x∈(?π2，0)∪(0，π2)，对于区间(?π2，0)∪(0，π2)上的任意实数x1，x2，有如下条件：（1）x1＞x2；（2）x12＞x22；（3）|x1|＞x2；（4）x1+x2＜0；（5）x1＞|x2|，其中能使f（x1）＜f（x2）恒成立的条件的序号有______．（写出你认为成立的所有条件序号）

Answer 1

f′（x）=

xcosx?sinx

x2

，
令g（x）=xcosx-sinx，则g′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx，
当x∈(0，

π

2

)时，g′（x）＜0，g（x）递减，
∴g（x）＜g（0）=0，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，

π

2

）上单调递减，
又f（-x）=f（x），∴f（x）为偶函数，在（-

π

2

，0）上递增．
（1）x₁＞x₂，f（x₁）＜f（x₂）不成立；
（2）由x₁²＞x₂²，得|x₁|＞|x₂|，∴f（|x₁|）＜f（|x₂|），即f（x₁）＜f（x₂）成立；
（3）|x₁|＞x₂，取x₁=-

1

2

，x₂=-1，则f（x₁）＜f（x₂）不成立；
（4）x₁+x₂＜0，取x₁=-

1

2

，x₂=-1，则f（x₁）＜f（x₂）不成立；
（5）x₁＞|x₂|，即|x₁|＞|x₂|，由（2）知f（x₁）＜f（x₂）成立；
故答案为：②⑤．