Question

已知函数f（x）=4x-a?2x+1-a2的定义域为[1，2]，试求函数f（x）的最大值，记为g（a），求g（a）表达式，

已知函数f（x）=4x-a?2x+1-a2的定义域为[1，2]，试求函数f（x）的最大值，记为g（a），求g（a）表达式，并求g（a）的最大值．

Answer 1

函数f（x）=4^x-a2^x+1-a²=（2^x）²-2a??2^x-a²（1≤x≤2）…2分
令t=2^x，则2≤t≤4，原函数可化为y=t²-2at-a²=（t-a）²-2a²（2≤t≤4）
①当a＜3时：t=2^x=4，即x=2时，f(x)max＝f(2)＝?a2?8a+16…4分
②当a≥3时：t=2^x=2，即x=1时，f(x)max＝f(1)＝?a2?4a+4…6分
∴g(a)＝

?a2?8a+16，a＜3 ?a2?4a+4，a≥3

…8分
当a＜3时：g（a）=-a²-8a+16，此时g（a）_max=g（-4）=32
当a≥3时：g（a）=-a²-4a+4，此时g（a）_max=g（3）=-17
综上可知，g（a）_max=32…12分