如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=1，D是BC的中点，点P在平面BCC1B1内，PB1=PC1=2．（I）求证：PA1
如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=1，D是BC的中点，点P在平面BCC1B1内，PB1=PC1=2．（I）求证：PA1⊥B1C1；（II）求证：PB...
如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=1，D是BC的中点，点P在平面BCC1B1内，PB1=PC1=2．（I）求证：PA1⊥B1C1；（II）求证：PB1∥平面AC1D；（III）求多面体PA1B1DAC1的体积．
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证明：（I）取B1C1的中点Q，连A1Q，PQ
∵PB1=PC1，A1B1=A1C1，
∴B1C1⊥A1Q，B1C1⊥PQ
∵A1Q∩PQ=Q
∴B1C1⊥平面A1PQ，∵PA1?平面A1PQ
∴PA1⊥B1C1；
（II）连BQ，在△PB1C1中，PB1=PC1=
，B1C1=2，Q为中点，∴PQ=1
∵BB1=AA1=1
∴BB1=PQ
在平面PBB1CC1中，BB1⊥B1C1，PQ⊥B1C1
∴BB1∥PQ
∴四边形BB1PQ为平行四边形
∴PB1∥BQ
∵BQ∥DC1
∴PB1∥DC1
∴PB1∥平面AC1D；
（III）三棱锥P-A1B1C1的体积为
?
?22? 1 ＝
多面体ABD-A1B1C1的体积为
?22? 1 ?
?
?22? 1? 2＝
．
∴多面体PA1B1DAC1的体积为
∵PB1=PC1，A1B1=A1C1，
∴B1C1⊥A1Q，B1C1⊥PQ
∵A1Q∩PQ=Q
∴B1C1⊥平面A1PQ，∵PA1?平面A1PQ
∴PA1⊥B1C1；
（II）连BQ，在△PB1C1中，PB1=PC1=
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∵BB1=AA1=1
∴BB1=PQ
在平面PBB1CC1中，BB1⊥B1C1，PQ⊥B1C1
∴BB1∥PQ
∴四边形BB1PQ为平行四边形
∴PB1∥BQ
∵BQ∥DC1
∴PB1∥DC1
∴PB1∥平面AC1D；
（III）三棱锥P-A1B1C1的体积为
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多面体ABD-A1B1C1的体积为
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∴多面体PA1B1DAC1的体积为
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