Question

已知抛物线C：y2=2px（P＞0）的准线为l，过M（1，0）且斜率为3的直线与l相交于点P，与C的一个交点为Q，PM

已知抛物线C：y2=2px（P＞0）的准线为l，过M（1，0）且斜率为3的直线与l相交于点P，与C的一个交点为Q，PM＝MQ．（1）求抛物线的方程；（2）过点K（-1，0）的直线m与C相交于A、B两点，①若BM=2AM，求直线AB的方程；②若点A关于x轴的对称点为D，求证：点M在直线BD上．

Answer 1

（1）设直线PQ：y=3x-3，代入y²=2px得3x²+（-6-2p）x+3=0，
又∵

PM

＝

MQ

，
∴x=12p+2，解得p²+4P-12=0，
解得p=2，p=-6（舍去）
故抛物线的方程为：y²=4x．
（2）①设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
|

BM

|＝

(x2?1)  2+y22

=x₂+1，
|

AM

| ＝

(x1?1)2+y1 2

＝x1+1，
∵|

BM

| ＝2|

AM

|，
∴x₂=2x₁+1，
由此能导出直线AB的斜率

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