Question

已知数列{an}满足：a1=2，an+1=3an+2；数列{bn}，其中bn=an+1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{

已知数列{an}满足：a1=2，an+1=3an+2；数列{bn}，其中bn=an+1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an}的前n项和Sn；（3）设cn=（2n-1）bn，求数列{cn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）由a_n+1=3a_n+2得，a_n+1+1=3（a_n+1），
所以{a_n+1}为以a₁+1为首项、3为公比的等比数列，
所以a_n+1=3?3^n-1=3ⁿ，
故a_n=3ⁿ-1；
（2）由（1）得，S_n=a₁+a₂+…+a_n=（3-1）+（3²-1）+…+（3ⁿ-1）
=（3+3²+…+3ⁿ）-n
=

3(1?3n)

1?3

-n=

1

2

?3n+1-n-

3

2

；
（3）b_n=a_n+1=3ⁿ，所以c_n=（2n-1）b_n=（2n-1）3ⁿ，
所以T_n=1?3+3?3²+…+（2n-1）3ⁿ①，
3T_n=1?3²+3?3³+…+（2n-1）3ⁿ⁺¹②，
①-②得，-2T_n=3+2?3²+2?3³+…+2?3ⁿ-（2n-1）?3ⁿ⁺¹
=3+

2?32(1?3n?1)

1?3

-（2n-1）?3ⁿ⁺¹=2（1-n）?3ⁿ⁺¹-6，
所以T_n=（n-1）?3ⁿ⁺¹+3．