Question

已知f（x）=2mx2-2（4-m）x+1，g（x）=mx，若同时满足条件：①?x∈R，f（x）＞0或g（x）＞0；②?x∈（-∞

已知f（x）=2mx2-2（4-m）x+1，g（x）=mx，若同时满足条件：①?x∈R，f（x）＞0或g（x）＞0；②?x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0．则实数m的取值范围是______．

Answer 1

当m=0时，f（x）=1-8x，g（x）=0，则不满足条件①②；
当m＜0时，g（x）＞0不恒成立，则①知，必须f（x）＞0恒成立，但f（x）的图象开口向下，故不成立；
当m＞0时，要满足①，则必须f（x）＞0恒成立，即有判别式4（4-m）²-8m＜0，解得2＜m＜8，
当x＜-4时，g（x）＜0，由于f（x）的对称轴为x=

4?m

2m

=

2

m

-

1

2

＞-

1

2

，则（-∞，-4）为减区间，
f（-4）=2m?16+8（4-m）+1=33+24m＞0，即有②成立．
综上可得，2＜m＜8．
故答案为：（2，8）．