Question

（2010?江苏）在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆x29+y25＝1的左、右顶点为A、B，右焦点为F．设过点T

（2010?江苏）在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆x29+y25＝1的左、右顶点为A、B，右焦点为F．设过点T（t，m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），其中m＞0，y1＞0，y2＜0．（1）设动点P满足PF2-PB2=4，求点P的轨迹；（2）设x1＝2，x2＝13，求点T的坐标；（3）设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．

Answer 1

解答：解：（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）．
由PF²-PB²=4，得（x-2）²+y²-[（x-3）²+y²]=4，化简得x＝

9

2

．
故所求点P的轨迹为直线x＝

9

2

．
（2）将x1＝2，x2＝

1

3

分别代入椭圆方程，以及y₁＞0，y₂＜0，
得M（2，

5

3

）、N（

1

3

，?

20

9

）
直线MTA方程为：

y?0

5 3 ?0

＝

x+3

2+3

，即y＝

1

3

x+1，
直线NTB方程为：

y?0

? 20 9 ?0

＝

x?3

1 3 ?3

，即y＝

5

6

x?

5

2

．
联立方程组，解得：

x＝7 y＝ 10 3

，
所以点T的坐标为(7，

10

3

)．

（3）点T的坐标为（9，m）
直线MTA方程为：

y?0

m?0

＝

x+3

9+3

，即y＝

m

12

(x+3)，
直线NTB方程为：

y?0

m?0

＝

x?3

9?3

，即y＝

m

6

(x?3)．
分别与椭圆

x2

9

+

y2

5

＝1联立方程组，同时考虑到x₁≠-3，x₂≠3，
解得：M(

3(80?m2)

80+m2

，

40m

80+m2

)、N(

3(m2?20)

20+m2

，?

20m

20+m2

)．
（方法一）当x₁≠x₂时，
直线MN方程为：

y+ 20m 20+m2

40m 80+m2 + 20m 20+m2

＝

x? 3(m2?20) 20+m2

3(80?m2) 80+m2 ? 3(m2?20) 20+m2

令y=0，解得：x=1．此时必过点D（1，0）；
当x₁=x₂时，直线MN方程为：x=1，与x轴交点为D（1，0）．
所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）．
（方法二）若x₁=x₂，则由

240?3m2

80+m2

＝

3m2?60

20+m2

及m＞0，得m＝2

10

，
此时直线MN的方程为x=1，过点D（1，0）．
若x₁≠x₂，则m≠2

10

，直线MD的斜率kMD＝

40m 80+m2

240?3m2 80+m2 ?1

＝

10m

40?m2

，
直线ND的斜率kND＝

?20m 20+m2

3m2?60 20+m2 ?1

＝

10m

40?m2

，得k_MD=k_ND，所以直线MN过D点．
因此，直线MN必过x轴上的点（1，0）．