Question

设n维向量a1，a2，…，ar是一组两两正交的非零向量，证明：a1，a2，…，ar线性无关

设n维向量a1，a2，…，ar是一组两两正交的非零向量，证明：a1，a2，…，ar线性无关．

Answer 1

解答：证明：设k₁a₁+k₂a₂+…+k_sa_s=0，则
a_i（k₁a₁+k₂a₂+…+k_sa_s）=0，（i=1，2，…，s） （*）
因为 a₁，a₂，…，a_s 两两正交且非零，
则a_i*a_j=0（i≠j），且 aiai＝

a

2 i

≠0，
所以由（*）得
0+0+…+ki

a

2 i

+..+0＝0，即 ki

a

2 i

＝0，（i=1，2，…，s）
由于

a

2 i

≠0，则k_i=0（i=1，2，…，s），
因此，a₁，a₂，…，a_s 线性无关．