Question

如图，圆O是三角形ABC的外接圆，BC为直径，AD平分角BAC，交圆O于D，点M是三角形ABC的内心

1.判断BC与DM的数量关系，并证明；
2.若AB等于8，AC等于6，求AD的长

Answer 1

1、∵BC是直径
∴∠BAC=90°，
∵M是内心，即M是三角形ABC的角平分线的交点
连接CM
∴CM平分∠ACB，那么∠ACM=∠BCM
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC=1/2×90°=45°
连接BD、CD，那么BC是直径，∠BDC=90°
∴∠DBC=∠CAD=45°，∠DCB=∠BAD=45°
那么△BDC是等腰直角三角形，即BC=√2CD(勾股定理：BD平方+CD平方=BC平方）
∵∠DCM=∠DCB+∠BCM=45°+∠ACM
∠DMC=∠CAD+∠ACM=45°+∠ACM
∴∠DCM=∠DMC，那么DM=CD
∴BC=√2DM
2、∵RT△ABC中，AB=8，AC=6
∴勾股定理：BC=10
∴等腰RT△BCD中：BD=CD=√2/2BC=5√2
设AD和BC交于N
AN平分∠BAC，那么根据角平分线分线段成比例定理
AB/AC=BN/CN，那么BN/CN=8/3=4/3
BN=4/7BC =40/7 (BN+CN=BC=10)
∵∠BAD=∠BDN=45°，∠BDA=∠NDB
∴△ABD∽△BND
∴BD/AD=BN/AB
AD=BD×AB/BN
=5√2×8/(40/7)
= 7√2