Question

如果f(x)为偶函数,且f'(0)存在,如何证明f'(0)=0?

Answer 1

因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)
变形为 f(x)-f(-x)=0
又因为f'(0)存在,所以两边求导,
f'(x)+f'(-x)=0 ( 这个求导法则要会,对f(-x)求导得到的是-f'(x) )

代入x=0

得到2f'(0)=0
f'(0)=0

Answer 2

因为f(x)为偶函数,有f(x)=f(-x) 两边对x求导的f'(x)=-f'(-x)，令x=0有f'(0)=-f'(-0)，有2f'(0)=0，则f'(0)=0

Answer 3

如果f(x)为偶函数
f(x)=f(-x)
f'(x)=f'(-x)(-1)=-f'(-x)
所以f'(0)=-f'(0)
f'(0)=0

Answer 4

f(x) = f(-x)

f'(0) = lim(y->0){[f(y+0)-f(0)]/y}
= -lim(y->0){[f(-y) - f(0)]/ (-y)

put x=-y
f'(0) = -lim(x->0){[f(x)-f(0)]/x}
=-f'(0)
=> f'(0) = 0