Question

高一数学函数问题

已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x)=f(x+5)，当－1≤x≤1时，函数y＝f(x)是奇函数；又知y＝f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x＝2时函数取得最小值－5.

(1)证明f(1)＋f(4)=0； (2)求y＝f(x)，x∈[－1,4]上的解析式；
(3)求y＝f(x)在[4,9]上的解析式

Answer 1

1）证明：
f(x)=f(x+5)
-1<=x<=1时f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)
f(1)+f(4)=-f(-1)+f(4)=-f(-1+5)+f(4)=-f(4)+f(4)=0
所以：f(1)+f(4)=0
2）解：
-1<=x<=1时f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)
0<=x<=1时f(x)是一次函数y=kx+b
则-1<=x<=0时f(x)也是一次函数y=kx+b
所以：-1<=x<=1时f(x)=kx+b
因为：f(0)=0+b=0
所以：f(x)=kx
1<=x<=4时，f(x)=mx²+nx+c
x=2时取得最小值-5，则m>0，对称轴x=-n/(2m)=2
所以：n=-4m<0，f(x)=mx²-4mx+c
f(2)=4m-8m+c=-5
所以：c=4m-5，f(x)=mx²-4mx+4m-5
f(1)+f(4)=0，则：(m-4m+4m-5)+(16m-16m+4m-5)=0
解得：m=2
所以：1<=x<=4时，f(x)=2x²-8x+3
因为：-1<=x<=1时f(x)=kx，f(1)=k=2-8+3=-3
所以：-1<=x<=1时，f(x)=-3x
综上所述：
-1<=x<=1时，f(x)=-3x
1<=x<=4时，f(x)=2x²-8x+3
3）解：
因为：f(x)=f(x+5)
所以：f(x)周期为5，f(x)=f(x-5)
4<=x<=9分成两段：
4<=x<=6和6<=x<=9
当4<=x<=6时，-1<=x-5<=1，f(x-5)=-3(x-5)=f(x)
当6<=x<=9时，1<=x-5<=4，f(x-5)=2(x-5)²-8(x-5)+3=f(x)
综上所述：
4<=x<=6时，f(x)=-3x+15
6<=x<=9时，f(x)=2x²-28x+93