Question

已知函数f（x）=log a 1-mx x-1 （a＞0，a≠1）的图象关于原点对称．（1）求m的值；（2）判

已知函数f（x）=log a 1-mx x-1 （a＞0，a≠1）的图象关于原点对称．（1）求m的值；（2）判断函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性并加以证明；（3）当a＞1，x∈（t，a）时，f（x）的值域是（1，+∞）求a与t的值．

Answer 1

（1）因为函数f（x）=log a 1-mx x-1 （a＞0，a≠1）的图象关于原点对称， 即f（x）为奇函数，则f（-x）+f（x）=0， log a 1+mx -x-1 +log a 1-mx x-1 =log a (1-mx)(1+mx) (-x-1)(x-1) =0， 即 (1-mx)(1+mx) (-x-1)(x-1) =1， 解可得，m=1或m=-1， 当m=1时， 1-mx x-1 =-1＜0，不合题意，舍去； 当m=-1时， 1-mx x-1 = 1+x x-1 ，符合题意， 故m=-1； （2）当0＜a＜1时，log a (x 2 +1 )(x 1 -1) (x 2 -1 )(x 1 +1) ＞0，即f（x 2 ）-f（x 1 ）＞0，此时f（x）为增函数，当a＞1时，log a (x 2 +1 )(x 1 -1) (x 2 -1 )(x 1 +1) ＜0，即f（x 2 ）-f（x 1 ）＜0，此时f（x）为减函数，证明如下 由（1）得m=-1，则f（x）=log a 1+x x-1 ， 任取1＜x 1 ＜x 2 ， 则f（x 2 ）-f（x 1 ）=log a 1+ x 2 x 2 -1 -log a 1+ x 1 x 1 -1 =log a (x 2 +1 )(x 1 -1) (x 2 -1 )(x 1 +1) ， 又由1＜x 1 ＜x 2 ，则0＜ (x 2 +1 )(x 1 -1) (x 2 -1 )(x 1 +1) ＜1， 当0＜a＜1时，log a (x 2 +1 )(x 1 -1) (x 2 -1 )(x 1 +1) ＞0，即f（x 2 ）-f（x 1 ）＞0，此时f（x）为增函数， 当a＞1时，log a (x 2 +1 )(x 1 -1) (x 2 -1 )(x 1 +1) ＜0，即f（x 2 ）-f（x 1 ）＜0，此时f（x）为减函数， （3）由（1）知，f（x）=log a 1+x x-1 ， 1+x x-1 ＞0，解可得，x＞1或x＜-1， 则f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）， 故（t，a）必然含于（-∞，-1）或（1，+∞）， 由a＞1，可知（t，a）?（∞，-1）不成立，则必有（t，a）?（1，+∞）， 此时，f（x）的值域为（1，+∞），又由函数f（x）为减函数， 必有f（a）=1且 t+1 t-1 =0； 解可得，t=-1，a=1+ 2 ； 故t=-1，a=1+ 2 ．