Question

已知函数f（x）=lnx- a x ，g（x）=f（x）+ax-6lnx，其中a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（

已知函数f（x）=lnx- a x ，g（x）=f（x）+ax-6lnx，其中a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；（Ⅲ）设函数h（x）=x 2 -mx+4，当a=2时，若?x 1 ∈（0，1），?x 2 ∈[1，2]，总有g（x 1 ）≥h（x 2 ）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），且 f ′ (x)= x+a x 2 ， ①当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（x，+∞）上单调递增； ②当a＜0时，由f′（x）＞0，得x＞-a；由f′（x）＜0，得x＜-a； 故f（x）在（0，-a）上单调递减，在（-a，+∞）上单调递增． （Ⅱ）g（x）=ax- a x -5lnx ，g（x）的定义域为（0，+∞）， g ′ (x)=a+ a x 2 - 5 x = a x 2 -5x+a x 2 ， 因为g（x）在其定义域内为增函数，所以?x∈（0，+∞），g′（x）≥0， ∴ax 2 -5x+a≥0， ∴a（x 2 +1）≥5x， 即 a≥ 5x x 2 +1 ， ∴ a≥ [ 5x x 2 +1 ] max ． ∵ 5x x 2 +1 = 5 x+ 1 x ≤ 5 2 ，当且仅当x=1时取等号， 所以a ≥ 5 2 ． （Ⅲ）当a=2时，g（x）=2x- 2 x -5lnx ， g ′ (x)= 2 x 2 -5x+2 x 2 ， 由g′（x）=0，得x= 1 2 或x=2． 当 x∈(0， 1 2 ) 时，g′（x）≥0；当x ∈( 1 2 ，1) 时，g′（x）＜0． 所以在（0，1）上， g(x) max =g( 1 2  )=-3+5ln2 ， 而“?x 1 ∈（0，1），?x 2 ∈[1，2]，总有g（x 1 ）≥h（x 2 ）成立”等价于 “g（x）在（0，1）上的最大值不小于h（x）在[1，2]上的最大值” 而h（x）在[1，2]上的最大值为max{h（1），h（2）}， 所以有 g( 1 2 )≥h(1) g( 1 2 ) ≥h(2) ， ∴ -3+5ln2≥5-m -3+5ln2≥8-2m ， ∴ m≥8-5ln2 m≥ 1 2 (11-5ln2) ， 解得m≥8-5ln2， 所以实数m的取值范围是[8-5ln2，+∞）．