Question

已知在平面直角坐标系xoy中，直线y=-3x-3交x轴于点A，交y轴于点C，点B的坐标为（3，0），抛物线y=ax2+bx+

已知在平面直角坐标系xoy中，直线y=-3x-3交x轴于点A，交y轴于点C，点B的坐标为（3，0），抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点．（1）求抛物线的解析式．（2）已知D（4，-1），在抛物线上是否存在点P，使得以线段PD为直径的⊙O′经过坐标原点O？若点P存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）已知正方形BEFG的顶点E在x轴上，除B点外，正方形BEFG还有一个顶点在抛物线上，请直接写出E点所有可能的坐标．

Answer 1

（1）直线y=-3x-3与x轴的交点为（-1，0），与y轴的交点为（0，-3），
∵抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C三点，
∴

a?b+c＝0 9a+3b+c＝0 c＝?3

，
解得

a＝1 b＝?2 c＝?3

，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3；

（2）在抛物线上存在点P（3+2

3

，12+8

3

）或（3-2

3

，12-8

3

），能够使得以线段PD为直径的⊙O′经过坐标原点O．理由如下：
设P点的坐标为（x，x²-2x-3）．
∵线段PD为⊙O′的直径，D（4，-1），
∴O′