Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1

已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）确定a与b的关系；（2）试讨论函数g（x）的单调性；（3）证明：对任意n∈N*，都有ln（1+n）＞ni＝1i?1i2成立．

Answer 1

（1）依题意得g（x）=lnx+ax²+bx，
则g′(x)＝

1

x

+2ax+b，
由函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴得：g'（1）=1+2a+b=0，∴b=-2a-1．
（2）由（1）得g′(x)＝

2ax2?(2a+1)x+1

x

=

(2ax?1)(x?1)

x

，
∵函数g（x）的定义域为（0，+∞），
∴①当a≤0时，2ax-1＜0在（0，+∞）上恒成立，
由g'（x）＞0得0＜x＜1，由g'（x）＜0得x＞1，
即函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；
②当a＞0时，令g'（x）=0得x=1或x＝

1

2a

，
若

1

2a

＜1，即a＞

1

2

时，由g'（x）＞0得x＞1或0＜x＜

1

2a

，由g'（x）＜0得

1

2a

＜x＜1，
即函数g（x）在(0，

1

2a

)，（1，+∞）上单调递增，在(

1

2a

，1)单调递减；
若

1

2a

＞1，即0＜a＜

1

2

时，由g'（x）＞0得x＞

1

2a

或0＜x＜1，由g'（x）＜0得1＜x＜

1

2a

，
即函数g（x）在（0，1），(

1

2a

，+∞)上单调递增，在(1，

1

2a

)单调递减；
若

1

2a

＝1，即a＝

1

2

时，在（0，+∞）上恒有g'（x）≥0，
即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
综上得：当a≤0时，函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；
当0＜a＜

1

2

时，函数g（x）在（0，1）单调递增，在(1，

1

2a

)单调递减；在(

1

2a

，+∞)上单调递增；
当a＝

1

2

时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＞

1

2

时，函数g（x）在(0，

1

2a

)上单调递增，在(

1

2a

，1)单调递