Question

已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（1-x）（其中a＞0，且a≠1）（1）求函数f（x）+g（x）的定义域

已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（1-x）（其中a＞0，且a≠1）（1）求函数f（x）+g（x）的定义域；（2）判断函数f（x）-g（x）的奇偶性，并予以证明；（3）求使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合．

Answer 1

（1）由题意得：

x+1＞0 1?x＞0

，∴-1＜x＜1
∴所求定义域为{x|-1＜x＜1，x∈R}；
（2）函数f（x）-g（x）为奇函数
令H（x）=f（x）-g（x），则H（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x）=log_a

x+1

1?x

，
∵H（-x）=log_a

?x+1

1+x

=-log_a

x+1

1?x

=-H（x），
∴函数H（x）=f（x）-g（x）为奇函数；
（3）∵f（x）+g（x）=log_a（x+1）+log_a（1-x）=log_a（1-x²）＜0=log_a1
∴当a＞1时，0＜1-x²＜1，∴0＜x＜1或-1＜x＜0；
当0＜a＜1时，1-x²＞1，不等式无解
综上：当a＞1时，使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合为{x|0＜x＜1或-1＜x＜0}．