Question

线性代数的题目，高分悬赏

Answer 1

向量组η1，η2，…，ηt称为齐次线性方程组Ax=0的基础解系
（1）η1，η2，…，ηt是Ax=0的解
（2）η1，η2，…，ηt线性无关
（3）Ax=0的任一解都可以由η1，η2，…，ηt线性表出

本题中， β1，β2，β3能够由α1，α2，α3线性表出，所以是Ax=0的解
那么下来就看 β1，β2，β3是否线性无关

已知n维向量α1，α2，α3线性无关，若 β1，β2，β3能够由α1，α2，α3线性表出，设

（β1，β2，β3）=（α1，α2，α3）C
证明：β1，β2，β3线性无关的充分必要条件是 | C | ≠ 0

证： 记A=（α1，α2，α3），B=（β1，β2，β3）

必要性
若β1，β2，β3线性无关，则秩r（B）=r（β1，β2，β3）=3，又
r（B）=r（AC）≤r（C）≤3
因此，秩r（C）=3，即矩阵C可逆， | C | ≠ 0

充分性
若 | C | ≠ 0，即矩阵C可逆，那么
r（B）=r（AC）=r（A）=r（α1，α2，α3）=3
所以β1，β2，β3线性无关。

本题中α1，α2，α3前的系数矩阵C 的行列式|C|≠0，所以β1，β2，β3线性无关。

由C可逆，（β1，β2，β3）=（α1，α2，α3）C，
可知（β1，β2，β3）C^-1=（α1，α2，α3）
即β1，β2，β3能线性表示α1，α2，α3，那么也就能表示齐次方程组的任一解。

综上所述，β1，β2，β3是Ax=0的一个基础解系。

newmanhero 2015年1月11日10:24:35

希望对你有所帮助，望采纳。