Question

如图，在?ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．（1）试说明：AE⊥BF；

如图，在?ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．（1）试说明：AE⊥BF；（2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明．

Answer 1

解：
（1）方法一：如图①，
∵在?ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°．（1分）
∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，
∴∠DAB=2∠BAE，∠ABC=2∠ABF．（2分）
∴2∠BAE+2∠ABF=180°．
即∠BAE+∠ABF=90°．（3分）
∴∠AMB=90°．
∴AE⊥BF．（4分）
方法二：如图②，延长BC、AE相交于点P，
∵在?ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAP=∠APB．（1分）
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAP=∠PAB．（2分）
∴∠APB=∠PAB．
∴AB=BP．（3分）
∵BF平分∠ABP，
∴AP⊥BF，
即AE⊥BF．（4分）

（2）方法一：线段DF与CE是相等关系，即DF=CE，（5分）
∵在?ABCD中，CD∥AB，
∴∠DEA=∠EAB．
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB．
∴∠DEA=∠DAE．
∴DE=AD．（6分）
同理可得，CF=BC．（7分）
又∵在?ABCD中，AD=BC，
∴DE=CF．
∴DE-EF=CF-EF．
即DF=CE．（8分）
方法二：如图，延长BC、AE设交于点P，延长AD、BF相交于点O，
∵在?ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAP=∠APB．
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAP=∠PAB．
∴∠APB=∠PAB．
∴BP=AB．
同理可得，AO=AB．
∴AO=BP．（6分）
∵在?ABCD中，AD=BC，
∴OD=PC．
又∵在?ABCD中，DC∥AB，
∴△ODF∽△OAB，△PCE∽△PBA．（7分）
∴

OD

OA

=

DF

AB

，

PC

PB

=

EC

AB

．
∴DF=CE．（8分）