Question

如图，AB，BC分别是⊙O的直径和弦，点D为 上一点，弦DE交⊙O于点E，交AB于点F，交BC于点G，过点C的切线

如图，AB，BC分别是⊙O的直径和弦，点D为 上一点，弦DE交⊙O于点E，交AB于点F，交BC于点G，过点C的切线交ED的延长线于H，且HC= HG，连接BH，交⊙O于点M，连接MD、ME。求证：（1）DE⊥AB；（2）∠HMD=∠MHE+∠MEH。





Answer 1

证明：（1）如图，连接OC， ∵HC=HG， ∴∠HCG=∠HGC， ∵HC切⊙O于C点， ∴∠1+∠HCG=90°， ∵OB=OC， ∴∠1=∠2， ∵∠HGC=∠3， ∴∠2+ ∠3=90°， ∴∠BFG=90°， 即DE⊥AB。
（2）连接BE， 由（1）知DE⊥AB， ∵AB是⊙O的直径， ∴ 　 ∴∠BED=∠BME， ∵四边形BMDE内接于⊙O， ∠HMD=∠BED， ∴HMD=∠BME， ∵∠BME是△HEM的外角， ∴∠BME=∠MHE+∠MEH， ∴∠HMD=∠MHE+∠MEH。