Question

如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M为抛物线y=-x2+2nx-n2+2n的顶点，过点（0，4）作x轴的平行线，交抛物

如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M为抛物线y=-x2+2nx-n2+2n的顶点，过点（0，4）作x轴的平行线，交抛物线于点P、Q（点P在Q的左侧），PQ=4．（1）求抛物线的函数关系式，并写出点P的坐标；（2）小丽发现：将抛物线y=-x2+2nx-n2+2n绕着点P旋转180°，所得新抛物线的顶点恰为坐标原点O，你认为正确吗？请说明理由；（3）如图2，已知点A（1，0），以PA为边作矩形PABC（点P、A、B、C按顺时针的方向排列），PAAB=1t．①写出C点的坐标：C（______，______）（坐标用含有t的代数式表示）；②若点C在题（2）中旋转后的新抛物线上，求t的值．

Answer 1

（1）∵抛物线y=-x²+2nx-n²+2n过点P，P点的纵坐标为4，
∴4=-x²+2nx-n²+2n
解得：x₁=n+

2n?4

，x₂=n-

2n?4

，
∵PQ=x₁-x₂=4，
∴2

2n?4

=4，
解得：n=4，
∴抛物线的函数关系式为：y=-x²+8x-8，
∴4=-x²+8x-8，
解得：x=2或x=6，
∴P（2，4）．

（2）正确；
∵P（2，4），PQ=4，
∴Q绕着点P旋转180°后的对称点为Q′（-2，4），
∴P与Q′正好关于y轴对称，
∴所得新抛物线的对称轴是y轴，
∵抛物线y=-x²+8x-8=-（x-4）²+8，
∴抛物线的顶点M（4，8），
∴顶点M到直线PQ的距离为4，
∴所得新抛物线顶点到直线PQ的距离为4，
∴所得新抛物线顶点应为坐标原点．


（3）①如图2，过P作x轴的垂线，交x轴于M，过C作CN⊥MN于N，
∵

PA

AB

=

1

t

，
∴

PA

PC

=

1

t

，
∵△APM∽△PCN，
∴

PN

AM

=

CN

PM

=

PC

PA

=

t

1

，
∵AM=2-1=1，PM=4，
∴PN=t，CN=4t，
∴MN=4+t，
∴C（-4t+2，4+t），
②由（1）可知，旋转后的新抛物线是y=ax²，
∵新抛物线是y=ax²过P（2，4），
∴4=4a，
∴a=1，
∴旋转后的新抛物线是y=x²，
∵C（-4t+2，4+t）在抛物线y=x²上，
∴4+t=（-4t+2）²，
解得：t=0（舍去）或t=

17

16

，
∴t=

17

16

．