Question

（1）如图1，在△ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=12∠ABC（0°＜∠CBE＜∠12ABC）．以点

（1）如图1，在△ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=12∠ABC（0°＜∠CBE＜∠12ABC）．以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针旋转∠ABC，得到△BE′A（点C与点A重合，点E到点E′处）连接DE′，求证：DE′=DE．（2）如图2，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=12∠ABC（0°＜∠CBE＜45°）．求证：DE2=AD2+EC2．

Answer 1

（1）证明：∵∠DBE=

1

2

∠ABC，
∴∠ABD+∠CBE=∠DBE=

1

2

∠ABC，
∵△ABE′由△CBE旋转而成，
∴BE=BE′，∠ABE′=∠CBE，
∴∠DBE′=∠DBE，
在△DBE与△DBE′中，
∵

BE＝BE′ ∠DBE＝∠DBE′ BD＝BD

，
∴△DBE≌△DBE′，
∴DE′=DE；

（2）证明：如图所示：把△CBE逆时针旋转90°，连接DE′，
∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCE=45°，
∴图形旋转后点C与点A重合，CE与AE′重合，
∴AE′=EC，
∴∠E′AB=∠BCE=45°，
∴∠DAE′=90°，
在Rt△ADE′中，DE′²=AE′²+AD²，
∵AE′=EC，
∴DE′²=EC²+AD²，
同（1）可得DE=DE′，
∴DE′²=AD²+EC²，
∴DE²=AD²+EC²．