Question

如图所示，在xOy平面内，y轴左侧有沿x轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E；在0＜x＜L区域内，x轴上、下

如图所示，在xOy平面内，y轴左侧有沿x轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E；在0＜x＜L区域内，x轴上、下方有相反方向的匀强电场，电场强度大小均为2E；在x＞L的区域内有垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度大小不变、方向做周期性变化．一电荷量为q、质量为m的带正电粒子（粒子重力不计），由坐标为（-L，L2）的A点静止释放．（1）求粒子第一次通过y轴时速度大小；（2）求粒子第一次射入磁场时的位置坐标及速度；（3）现控制磁场方向的变化周期和释放粒子的时刻，实现粒子能沿一定轨道做往复运动，求磁场的磁感应强度B大小取值范围．

Answer 1

（1）粒子从A点到y轴的过程，根据动能定理得：qEL＝

1

2

m

v

2 0

?0
得：v0＝

2qEL m

；
（2）进入0＜x＜L区域间偏转电场作类平抛运动，则得：
  L=v₀t，
  △y＝

1

2

×

q×2E

m

t2，
  vy＝

2qE

m

t
解得：△y＝

1

2

L，v_y=v₀
所以第一次射入磁场时的位置坐标为（L，L）；    
速度大小：v＝

v 2 0 + v 2 y

=

4qEL m

，方向与x轴正方向成45°角斜向上．
（3）在磁场中，粒子做匀速圆周运动，根据向心力公式有：
    qvB＝

mv2

R

轨道半径：R＝

mv

qB

由对称性可知，射出磁场后必须在x轴下方的电场中运动，才能实现粒子沿一定轨道做往复运动，如图所示．       
当CC₁=

L

2

+

L

2

+

L

2

＝

3L

2

时，轨道半径R最小，对应的磁感应强度B最大，粒子紧贴x轴进入y轴左侧的电场．
由几何关系得 R2+R2＝C

C

2 1

得最小半径：R＝

3 2

4

L，
磁感应强度的最大值：Bmax＝

mv

qR

=

4 2mEqL

3qL

磁感应强度大小取值范围为：0＜B＜

4 2mEqL

3qL

答：（1）粒子第一次通过y轴时速度大小为

2qEL m

；
（2）粒子第一次射入磁场时的位置坐标为（L，L），速度为

4qEL m

；
（3）磁场的磁感应强度B大小取值范围为0＜B＜

4 2mEqL

3qL

．